퇴사(p.377) - 다이나믹 프로그래밍(이코테)

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해설 부분은 책에 내용을 포함하고, 더 추가하여 최대한 자세하게 설명하려고 노력했습니다.

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문제 설명

상담원으로 일하고 있는 백준이는 퇴사를 하려고 합니다. 오늘부터 N + 1일째 되는 날 퇴사를 하기 위해서, 남은 N일 동안 최대한 많은 상담을 하려고 합니다.

 

백준이는 비서에게 최대한 많은 상담을 잡으라고 부탁을 했고, 비서는 하루에 하나씩 서로 다른 사람의 상담을 잡아 놓았습니다.

 

각각의 상감은 상담을 완료하는 데 걸리는 기간 T(i)와 상담을 했을 때 받을 수 있는 금액 P(i)으로 이루어져 있습니다.

 

N = 7인 경우에 다음과 같은 상담 일정표가 있습니다. 

	1일	2일	3일	4일	5일	6일	7일
T(i)	3	5	1	1	2	4	2
P(i)	10	20	10	20	15	40	200

1일에 잡혀 있는 상담은 총 3일이 걸리며, 상담했을 때 받을 수 있는 금액은 10입니다. 5일에 잡혀 있는 상담은 총 2일이 걸리며, 받을 수 있는 금액은 15입니다. 

 

상담하는 데 필요한 기간은 1일보다 클 수 있기 때문에, 모든 상담을 할 수는 없습니다. 예를 들어서 1일에 상담을 하게 되면, 2, 3일에 있는 상담은 할 수 없습니다. 2일에 있는 상담을 하게 되면, 3, 4, 5, 6일에 잡혀 있는 상담은 할 수 없습니다. 

 

또한 N + 1 일째에는 회사에 없기 때문에, 6, 7일에 있는 상담을 할 수 없습니다.

퇴사 전에 할 수 있는 상담의 최대 이익은 1일, 4일, 5일에 있는 상담을 하는 것이며, 이때의 이익은 10 + 20 + 15 = 45입니다. 

 

상담을 적절히 했을 때, 백준이가 얻을 수 있는 최대 수익을 구하는 프로그램을 작성하세요. 

 

입력 조건

• 첫째 줄에 N(1 <= N <= 15)이 주어집니다.
• 둘째 줄부터 N개의 줄에 T(i)와 P(i)가 공백으로 구분되어서 주어지며, 1일부터 N일까지 순서대로 주어집니다. (1 < = T(i) <= 5, 1 <= P(i) <= 1,000)

출력 조건 

• 첫째 줄에 백준이가 얻을 수 있는 최대 이익을 출력합니다. 

 

입력 예시

 

7
3 10
5 20
1 10
1 20
2 15
4 40
2 200

 

출력 예시

 

45

 

 

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해설(책 내용 + 추가 설명)

앞서 있었던 다이나믹 프로그래밍 예제와 같이 i를 기준으로 점화식을 세워 (i - 1), (i - 2) 항들을 이용해 뒤에서부터 접근하는 방식이다.

 

해설을 이해하는데 가장 중요한 것은 

1. 뒤쪽 날짜부터  거꾸로 계산하며 문제를 해결할 수 있다.
2. dp[i] = i번째 날부터 마지막 날까지 낼 수 있는 최대 이익이다. 

책에서 주어지는 해설 점화식은 dp[i] = max(p[i] + dp[t[i] + i], max_value)이다. 

 

max_value는 뒤에서부터 계산할 때, 현재까지의 최대 상담 금액에 해당하는 변수이다. 

 

책에서 제공하는 해설 코드는 이렇다. 

n = int(input()) 
t = [] # 각 상담을 완료하는데 걸리는 시간
p = [] # 각 상담을 완료했을 때 받을 수 있는 금액

dp = [0] * (n + 1) # 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 dp 테이블 초기화 
max_value = 0 

for _ in range(n):
  x, y = map(int, input().split()) 
  t.append(x) 
  p.append(y) 

# 리스트를 뒤에서부터 거꾸로 확인
for i in range(n - 1, -1, -1): 
  time = i + t[i]  # time : 현재 시간(i)과 상담이 끝나는데 걸리는 시간(t[i])의 합 
  # 상담이 기간 안에 끝나는 경우
  if time <= n: 
    # 점화식에 맞게, 현재까지의 최고 이익 계산 
    dp[i] = max(p[i] + dp[time], max_value) 
    max_value = dp[i] 
  # 상담이 기간을 벗어나는 경우 
  else: 
    dp[i] = max_value 

print(max_value)

처음에 점화식을 보고 막힐 것이다. 하지만 이것을 기억하면 된다. 

 

max(p[i] + dp[time], max_value)에서 max 안의 첫 번째 항인 (p[i] + dp[time]) 부분은 (현재 낼 수 있는 이익 + 지금까지의 최대 이익)이다. 

 

반복문을 살펴보자.

 

for i in range(n - 1, -1, -1)  # n-1에서 -1까지 인수하나씩 줄어들며 반복

 

예시에서 n은 7로 입력되었으니 i는 6에서부터 시작이다. 

 

그렇다면 이제 time을 살펴보자.

 

time = t[i] + i 에서 i는 6부터 시작이니까 

 

time = t[6] + 6이다. 

 

이것이 의미하는 것은 t[6]은 6일 날 있는 상담을 해결하기 위해 걸리는 시간이고(4일) 

 

+ 6은  6일을 의미한다. 

 

다시 말해서 time = i + t[i]는 i가 6일 때 (6일 + 6일째의 상담이 끝나는 데 걸리는 시간)이라고 할 수 있다. 

 

time = 6 + t [6]는 t[6]은 4일이니까 결과는 10이다. 

 

6일째에 상담을 시작하면 N일 안에 업무를 못 끝내기 때문에 상담 기간을 벗어나게 된다. 

 

그래서 dp[6] = max_value = 0 

 

그다음은 i = 5일 때이다. 

 

time = 5 + t[5] = 5일 + 상담이 걸리는 시간 = 7. 

 

time <= n( =7) 이니까 상담기간 안에 끝날 수 있다. 

 

dp[5] = max(p[5] + dp[7], max_value) = 15이 된다. 

 

	1일	2일	3일	4일	5일	6일	7일
T(i)	3	5	1	1	2	4	2
P(i)	10	20	10	20	15	40	200

 

표를 다시 보면 p[5]는 15이고 dp[7]는 0이다(처음 초기화할 때 0으로 초기화). 

 

지금 max_value는 0이므로 더 높은 값인 (15 + 0)가 dp[5]값이 된다.

 

그리고 max_value = dp[5] = 15가 된다. 

 

이것을 표로 그리면 이렇게 된다.

 

1일

2일

3일

4일

5일

6일

7일

 

앞에서 t[5]가 2라고 했었다. 그건 상담을 수행하는데 2일이 걸린다는 뜻이라고 했다.

 

그래서 p[5]는 표에서 하늘색으로 채워진 부분이고 

 

dp[time]을 나타내는 dp[7]은 핑크색으로 채워진 부분이 된다. 

(dp[i]는 i번째 날부터 마지막 날까지 낼 수 있는 최대 이익이라고 앞에서 설명했었다.)

(따라서 dp[7]은 7일부터 7일까지 낼 수 있는 최대 이익이 된다.) 

 

따라서 dp[5] = max(p[i] + dp[time], max_value)에서 p[i] + dp[time] 부분은 하늘색과 핑크색으로 채워진 부분이 된다. 

 

그리고 max_value는 dp[5](= 15)가 된다. 

 

자~ 이제 다음은 i = 4일 때이다. 

 

time = t[4] + 4은 5가 된다. (t[4]는 1이다.) 

 

time이 5니까 n(=7) 보다 작다.

 

그렇다면.

 

dp[4] = max(p[4] + dp[5], max_value)가 된다. 

 

앞의 표에서 p[4]는 20이고 dp[5]는 15이다. 

(다시 말하지만 dp[i]는 i번째 날부터 마지막 날까지 낼 수 있는 최대 이익이다.)

 

dp[4]를 다시 쓰면 

 

dp[4] = max(20 + 15, 15) = 35가 된다. 

 

그리고 max_value는 갱신되어 35가 된다. 

 

표로 나타내게 되면 

 

1일

2일

3일

4일

5일

6일

7일

 

이렇게 된다. 

(t[4]는 1이라 했고 dp[5]는 5~7일까지의 최대 이익이니 같은 색으로 묶이게 된다.) 

 

 

이 과정을 반복해서...

 

 

i = 1일 때는  

 

time = t[1] + 1 = 4가 된다(t[1]은 3이다.) 

 

n(=7) 보다 작으니 

 

dp[1] = max(p[1] + dp[4], max_value) = 45가 된다.

 

1일

2일

3일

4일

5일

6일

7일

 

표로 표현하면 이렇게 된다. 

(t[1]은 3일이 걸린다고 위에 표에 나와있다.) 

 

모든 반복문을 끝내고 나면 max_value는 45가 되어있다. 

 

그리고 print(max_value)를 출력하면 출력 예시가 나오게 된다.